Nombres parfaits.
Paires de nombres amiables.
Définitions
Une partie aliquote a d'un nombre entier naturel n > 1 est un diviseur propre de cet entier,
c'est à dire un diviseur autre que l'entier n.
Notons s(n) la somme des diviseurs propres de n.
Un entier est parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs propres : n est parfait si s(n) = n.
Deux entiers différents sont amiables si chacun d'eux est égal à la somme des diviseurs propres de l'autre :
m et n sont amiables si s(m) = n et s(n) = m.
Synonymes : nombres amicaux, nombres amis.
Exemples de Fermat : 17296 et 18416, de Descartes : 9363584 et 9437056 (*)
Un entier est parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs propres : n est parfait si s(n) = n.
Deux entiers différents sont amiables si chacun d'eux est égal à la somme des diviseurs propres de l'autre :
m et n sont amiables si s(m) = n et s(n) = m.
Synonymes : nombres amicaux, nombres amis.
Exemples de Fermat : 17296 et 18416, de Descartes : 9363584 et 9437056 (*)
Recherche des nombres parfaits et des paires amiables
Histoire
Le mathématicien d'expression arabe Thabit ibn Qurra (826-901) a montré que si $ a $, $ b $ et $ c $ sont des nombres premiers de la forme
C'est grÃ˘ce aux traductions que fit Thabit ibn Qurra que les oeuvres de nombreux savants de l'antiquité (Euclide, Apollonios, Ptolémée et d'autres), nous sont parvenues.
$\displaystyle a = 3 \times 2^n -1 $, $\displaystyle b = 3 \times 2^{n-1} -1 $, $\displaystyle c = 9 \times 2^{2n-1} -1 $ avec $\displaystyle n > 1 $ alors les nombres $\displaystyle 2^n ab $ et $\displaystyle 2^n c $ sont amiables [Cliquer pour une recherche (1< n< 10)].
C'est grÃ˘ce aux traductions que fit Thabit ibn Qurra que les oeuvres de nombreux savants de l'antiquité (Euclide, Apollonios, Ptolémée et d'autres), nous sont parvenues.
Liens
Page de liens sur l'Arithmétique
(*)dictionnaire de Mathématiques A. Bouvier -M. Georges - F. Le Lionnais. Éditeur puf (décembre 2001)
Histoire des Sciences de l'Antiquité à nos jours sous la direction de Philippe de la Cotardière. Éditeur Tallandier (janvier 2005).
l'algèbre arabe, genèse d'un art Ahmed Djebbar. Éditeur Vuibert (novembre 2005).
MathWorld : perfect number Eric W. Weisstein (MathWorld Wolfram Research).
MathWorld : amicable pair Eric W. Weisstein (MathWorld Wolfram Research).
The first four perfect numbers are 6, 28, 496, 8128
A000396 Nombres parfaits.
A000203 somme des diviseurs de n
A003023 Longueurs des séquences aliquotes.
et les ambigrammes (ou inversions)
