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La page 11 du livre "350 g de PASSE-TEMPS amusabts" présente un puzzle de forme hexagonale. Peut-être allez-vous tenter de reconstituer quelques unes des nombreuses solutions de ce puzzle.

Il s'agit, dans le livre, de prendre douze cartes à jouer As, 2, 3, ... 10, Valet, Dame d'un jeu de cinquante-deux cartes et de les placer sur les douze pointes ou croisements de l'étoile (dans les cercles de l'étoile qui se trouve ci-dessous), de telle sorte que toutes les lignes de quatre cartes fassent un même total.
L'As vaut 1pt, le Valet vaut 11 pt, la Dame vaut 12 pt et les cartes 2, 3, ..., 10 valent ces nombres. Le Roi qui vaut 13 pt n'est pas utilisé dans le jeu de base, mais une variante du jeu le met à la place de l'une ou l'autre des autres cartes, comme par exemple 1 8 6 5 13 7 9 4 3 12 2 11.

Vous pouvez vérifier que 2 × (1+2+...+12) = 156 et que 156/6 = 26. C'est donc bien la valeur 26 que l'on doit choisir pour que notre figure soit magique.

Plus généralement, montrez qu'en partant d'un polygone de n sommets, avec n au moins égal à 5, en joignant les sommets de deux en deux, on dessine comme ici une étoile où l'on peut placer 2n cercles (n intérieurs et n extérieurs) complétés par les nombres de 1 à 2n. Cette étoile sera magique lorsque la somme des 4 nombres alignés est 4n+2 sur chaque segment. Pour n=6, cette somme est 26.

Au lieu d'utiliser des cartes à jouer, vous pouvez écrire les nombres dans les cercles. Toutes les cases doivent être remplies, chaque nombre entier ne peut être écrit qu'une fois. Si les douze nombres sont consécutifs, de 1 à 12, c'est encore mieux.

Pour jouer, dessinez l'étoile ou téléchargez et imprimez hexa6.pdf qui contient six étoiles sur une feuille au format A4. Vous pouvez aussi utiliser l'application ci-dessous qui vérifiera vos tentatives. D'autres feuilles correspondent au pentagone étoilé, au heptagone étoilé et à l'octogone étoilé.

Placez douze entiers différents et faites vérifier.
En cliquant sur le bouton [Au hasard] vous aurez une solution utilisant douze entiers pris dans l'intervalle [1, 16]. En cliquant sur [facile] [moyen] [difficile] vous obtenez des solutions à compléter par des nombres entiers de 1 à 16.

        



Écrivez une solution :        

Ne vous découragez pas, vous trouverez sûrement une solution.

Écrivez douze entiers différents et déterminez toutes les solutions qui les utilisent.
(Si plusieurs entiers étaient identiques, on obtiendrait plusieurs fois chaque solution)

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