Mélange parfait
(brassage, battage d'un jeu de cartes)

Initialement on a la suite 1, 2, 3, 4 ... des entiers naturels non nuls.
On peut imaginer que ces nombres représentent les cartes d'un jeu, (ayant un nombre infini de cartes), numérotées à partir du sommet du paquet.

Les cartes du jeu sont progressivement mélangées par des battages successifs, selon un algorithme décrit un peu plus loin.
Le premier battage intervertit les deux premières cartes, le second battage mélange les quatre premières cartes, le troisième les six premières cartes, etc.

Aux étapes n = 1, 2, 3 ... on mélange les n premiers éléments de la suite avec les n suivants en les alternant :
le n + k-ième élément de l'ancienne suite est suivi du k-ième, pour k variant de 1 à n.
Ensuite, les éléments à partir de N = 2n+1 restent inchangés.

La carte X est toujours la carte qui se trouve à la X-ième place du paquet initial

Les positions de certaines cartes changent à chaque battage, d'où les notations :
La carte X de position initiale X (ou x₀=X) prend ensuite les positions x₁ = t₁(x₀), x₂ = t₂(x₁) ...
t₂ désignant le 2-ième battage et x₂ la place occupée juste après ce battage.

Tout naturel apparaît à la première place de l'une de ces suites.
(on a, dans l'ordre, 1, 2, 3, 1, 6, 5, 9, 1, 4, 2, 16 ... à la 1-ère place : Sloane A035485)

Le programme permet d'observer les étapes de ce mélange en cliquant sur [suivant].

Pour obtenir les positions successives t_n[k] d'un élément particulier n (carte) aux étapes k, entrer la valeur n de cet élément et cliquer sur [trajectoire].
L'image de droite donne la trajectoire de la carte 80 jusqu'à son arrivée à la première place.
Programme C de recherche de trajectoire.

Le bouton [premier] indique à quelle étape l'élément n apparaît pour la première fois en première position.

Lorsque cette valeur est très élevée (pour 54 c'est 252992198) il faut attendre un certain temps !
La liste de ces éléments records est 1 3 4 7 13 15 39 43 54 1227 1796 2674 3464 8206 17526 19704 23302 31965 32105 ...

Réciproquement

Étape :   

        

Liens

Pour un premier contact, [utilisez ce formulaire] ou recopiez l'adresse qui y figure. Merci d'indiquer la page précise "http://jeux-et-mathématiques.davalan.org/" de la page du site, cela m'aidera et évitera toute confusion. Ne joignez aucun document.
Important : Si votre question a un quelconque rapport avec un travail personnel (Devoir TIPE Master...) , vous devez absolument me le préciser dès maintenant et m'indiquer très précisément les limites des informations demandées. Vous devez aussi avertir la personne qui dirige votre travail ou le corrige de cette communication et lui montrer les documents fournis.

J'essaie de répondre aux questions posées, mais ne lis pas les documents mathématiques amateurs, pas plus que je ne donne mon avis sur les démonstrations des conjectures de Collatz ou autres. Je ne lis pas les documents word, je ne corrige pas les programmes informatiques et depuis des années je n'utilise plus de tableur.

© (Copyright) Jean-Paul Davalan 2002-2013