Suites de Beatty

Description

Définition

La suite de Beatty associée à un irrationnel p est la suite des parties entières

des multiples non nuls np, (n>0), de l'irrationnel p.

Lorsque p est un irrationnel strictement supérieur à 1, le nombre q tel que 1/p + 1/q = 1 et aussi un irrationnel strictement supérieur à 1.
On montre alors (théorème de Beatty : demo) que les deux ensembles (suites) de Beatty de bases p et q sont complémentaires dans N^*.

Exemple

Les deux suites de Wythoff qui permettent de trouver le noyau du graphe du jeu de Wythoff ont pour bases le nombre d'or tau=(1+ sqrt 5)/2 et q=tau²=(3+ sqrt 5)/2

p= 1.618... Wythoff1 = 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, 30, 32, 33, 35, ...
q= 2.618... Wythoff2 = 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 34, 36, ...

Calculs

Remarques

L'application ci-dessous accepte uniquement les valeurs de p strictement supérieures à 1.

Lorsque les chiffres décimaux connus de p sont en nombre insuffisant (ou lorsqu'ils sont nuls) le résultat est imprévisible. Les calculs effectués en Javascript ne sont qu'approximatifs, par exemple p=2 (entier) devrait donner q=2 et les deux suites devraient être identiques, ce n'est malheureusement pas le cas. Par précaution, n'utilisez que des valeurs de p et de q éloignées de valeurs entières.

Application

Suites de Beatty

Application inverse

Construction terme après terme d'une suite de Beatty

Il s'agit ici de construire une suite, élément après élément, de telle façon qu'ele puisse à tout moment être la suite de Beatty d'un réel p.
Au fur et à mesure que le nombre n des termes connus croît, l'intervalle contenant p s'amenuise.
Pour se limiter à de petites valeurs de p, on restreint le choix du premier terme p aux entiers de 1 à 10.

Application

Retrouver p

Exemples

Un exemple intéressant : Cliquez alternativement sur le nombre de gauche puis sur celui de droite 1, 3, 4, 8, ..., c'est-à-dire choisissez alternativement la plus petite ou la plus grande des valeurs proposées lorsque plusieurs choix sont possibles, (sinon l'application complète d'elle-même lorsqu'un seul choix est possible). Que pensez-vous de la valeur de p = 1.6180339... obtenue ? Vos choix sont effectués aux étapes 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, .... si ça vous dit quelque chose !

La suite de Beatty associée au nombre de Padovan (nombre plastique p=1.324717957244746025960908854...), racine de x^3=x+1, lié à la suite de Padovan A000931. Essayez de reconstruire le nombre de Padovan à partir de sa suite de Beatty.

Suivant le même principe que ci-dessus, effectuez les choix des termes suivant un motif que vous aurez fixé à l'avance.

Notes historiques

Samuel Beatty (1881-1970) était un mathématicien canadien. C'est après la publication qu'il fit en 1926 d'un problème dans la revue "American Mathematical Monthly" que commença l'étude des "suites de Beatty". Pour plus de détails et une photographie de Beatty allez à la page écrite par Clark Kimberling de l'université d'Evansville.

Autres pages du site

Suite de Fibonacci, Nombre d'or et jeu de Wythoff

Suites d'entiers

Page de liens sur les suites et sur Fibonacci

Liens

On-Line Encyclopedia of Integer Sequences d'où sont tirés les exemples des suites de Beatty.

Tables de constantes by Simon Plouffe

Mathematical Constants by Steven R. Finch

Samuel Beatty (1881-1970) mathematician Clark Kimberling

Eric W. Weisstein. "Devil's Staircase." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/DevilsStaircase.html

Tales of a Neglected Number by Ian Stewart Mathematical Recreations