Problème simple mais peu intuitif des trois portes.

Autres tours peu intuitifs mais pourtant bien réels : le tour de cartes de W. Fitch Cheney Jr. (Univ. de Hartford) et la manifestation macroscopique du spin 1/2.

Lors d'un jeu télévisé (Let's Make a Deal!), le présentateur (Monty Hall) montrait trois portes fermées au candidat et affirmait que derrière l'une d'entre-elles se cachait un cadeau (une voiture) et qu'il suffisait d'indiquer la bonne porte pour gagner.

1. - En supposant que l'emplacement du cadeau a été choisi au hasard et qu'il y a équiprobabilité, le candidat a une chance sur trois de désigner la bonne porte.
Pour l'instant on n'ouvre pas cette porte.

2. - Ensuite le présentateur ouvre l'une des deux portes autre que celle qui a été choisie et autre que celle qui cache la voiture.

3. - Le candidat a le choix entre maintenir son premier choix ou le modifier. Que lui conseillez-vous de faire ?

Lorsque le candidat maintient son choix sa probabilité de gagner est 1/3.
(C'est la probabilité de désigner la bonne porte lorsque les trois sont fermées).

Sinon, lorsqu'il change de porte, l'événement est contraire du précédent et la probabilité de gagner est donc 2/3.
(Pour un même premier choix et une même position du cadeau derrière une porte, trouver la bonne porte par l'une des stratégies correspond à ne pas la trouver par l'autre).

Mode d'emploi

a - Cliquez sur la porte que vous avez choisie, une autre porte s'ouvre.

b - Cliquez sur l'une des deux portes fermées, celle-ci s'ouvre en dévoilant un cadeau ou non. Vous verrez rapidement que vous avez intérêt à changer votre choix en ne cliquant pas sur la même porte que précédemment.

c - Cliquez ensuite sur n'importe quelle porte, d'abord pour ouvrir la troisième porte, ensuite pour commencer une autre partie.

S.V.P. ne quittez pas la page avant d'avoir lu la démonstration et n'écrivez pas qu'une simulation ne prouve rien, tout le monde le sait bien, enfin j'espère !

Jeu

A	B	C

Simulations

jeux	en conservant le premier choix en changeant de choix

Pour ceux qui doutent encore :
1) Vous ne choisissez véritablement qu'une fois
Si vous préférez l'une des deux stratégies à l'autre, comprenez bien que lorsque vous adoptez une stratégie, vous ne choisissez véritablement qu'une seule fois, la première. Ensuite votre jeu est entièrement déterminé par votre premier choix. (Le jeu du présentateur est aussi déterminé par votre premier choix, sauf peut-être si vous avez désigné la bonne porte en premier, mais dans ce cas, peu importe la porte qu'il ouvrira). C'est la première porte qui décide de la partie et il n'y a qu'une chance sur trois qu'elle cache le cadeau.

Pour ceux qui douteraient encore et qui ne vont pas tarder à changer d'avis :
Évidemment les simulations proposées plus haut ne sont pas une preuve, elles ne cherchent qu'à vous inciter à penser qu'il est préférable de changer de choix. Mieux que les simulations, les démonstrations esquissées dans cette page vous aideront sans doute à comprendre ce qu'il se passe.
2) Un argument de symétrie
Il s'agit de la symétrie qui apparaît dans l'explication 1). La stratégie du changement convertit un premier bon choix GAGNANT en choix PERDANT et convertit un premier choix PERDANT en choix GAGNANT. La symétrie en question bascule GAINS en PERTES et PERTES en GAINS. (Barry Mazur).
3) Un milliard de portes
Supposons qu'il y a non pas trois portes mais 1 milliard de portes. Vous choisissez une porte A et si le jeu s'arrêtait là, il y aurait peu de chance que vous gagniez (0,0000001 % seulement). Mais heureusement le jeu continue, il reste 999 999 999 autres portes dont une est peut-être la bonne (c'est même presque certain !). Le présentateur ouvre 999 999 998 de ces portes (parmi celles qui ne contiennent évidemment pas le cadeau), il reste une seule porte appelée B. Que faites-vous ?
Moi, je change mon premier choix, je désigne B et j'ai 99,9999999 % de chances de gagner le gros lot !
4) Arbre
S'il devait rester des réfractaires aux précédentes explications, je pourrais encore leur conseiller de dessiner un arbre, ou d'énumérer toutes les possibilités dans une liste, ou de dessiner un diagramme d'ensembles (de Venn ou de Carroll).
Comme je préfère bien évidemment les explications en deux lignes aux dessins d'arbres et aux calculs mécaniques, j'ai choisi de renoncer à le faire ici.
Remarque : Il est possible de s'inspirer de l'arbre et du diagramme de Carroll qui accompagnent le problème des trois boîtes de Bertrand ("Explications" en bas de page).